他的数均与p互质ppp1p11p
选自《数学竞赛研究教程》上册P154
共有p1个
【练习】证明：4
1
不可能成立；4
选自《世界数学奥林匹克解题大辞典》数论卷P343
例4、证明当素数p7时，p41能被240整除；证：素数p7p是奇数又p41p1p1p21p41p1p1p21能被224＝整除16又费马小定理有：p15p133p215p41又16，5两两互素，则35p413与16240p41
且p1p1p21均为偶数，p1和p1是相邻的偶数，则：
【练习】证明：
13
N2730
2
f例5、设m和
是自然数，满足：对任意自然数k，k1与m和11k1与
具有相同11的最大公约数，证明存在某个整数l，使m11l
。证：设m11ip
11jp其中ij为非负整数，且11p11q为证明存在某个整数l，使m11l
，只需证明pq假设pqp111由孙子定理有：存在正整数a，使得：a0modpa1mod11a11k1kN且11a又11k1ma11ipp11k1
a11jqqp另一方面：k1m＝11k1
11产生矛盾，假设不成立，同理pq也不成立p＝q即：m11ij
lij
选自《世界数学奥林匹克解题大辞典》数论卷P368
【练习】是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有二重的素因子，即能被某个素数平方所整除。
3
f【练习】证明：4证：若4
1
不可能成立；4
1
成立，则4
4设
2p11p22pkk2p1p2pk为奇质数，则：
选自《数学竞赛研究教程》上册P155


p1p1p11122p1p2pkk2p11p22pkk12k4p1p2pk
即：2p11p22pkk2p111p221pkk1p11p21pk12
即：p1p2pk4p11p21pk1又上式右边是一个偶数，左边是一个奇数，上式不成立，假设不成立41
不可能成立4
【练习】证明：
13
N2730证明：2730＝235713，若记f
13
N则由费马小定理，可知13f
由于

1
1
1366

31
31
61
1
1
2
1
2
1
61由费马小定理可知：f1
5f2
3f3
2f4
7即2，5r