F，∠BEF2∠BAC。
（1）求证：OEOF（2）若BC2
3，求AB的长。
7
f10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1∠2．（1）若CE1，求BC的长；（2）求证：AMDFME．
解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
8
f∴AB∥CD，∴∠1∠ACD，∵∠1∠2，∴∠ACD∠2，∴MCMD，∵ME⊥CD，∴CD2CE，∵CE1，∴CD2，∴BCCD2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BFCFBC，∴CFCE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），∴MEMF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G∠2，∵∠1∠2，∴∠1∠G，∴AMMG，在△CDF和△BGF中，
∵
，
∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GFDF，由图形可知，GMGFMF，∴AMDFME．
12．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且12．（1）若AD2，DE1，求AP的长；
9
f（2）求证：PBPF＋FM．
14、已知，Rt△ABC中，∠ACB90°，∠CAB30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BECD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
10
f证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴ABAD，ACAE，∠DAB∠EAC60°，∴∠DAB∠BAC∠EAC∠BAC，即∠DAC∠BAE，在△DAC和△BAE中，ACAE∠DAC∠BAEADAB，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DCBE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC60°，∠CAB30°得：∠FAE∠EAC∠CAB90°，∴∠DGF∠FAE90°，又∵∠ACB90°，∠CAB30°，∴∠ABC60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG60°，DBAB，∴∠DBG∠ABC60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB∠ACB∠DBG∠ABCDBAB，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DGAC，又∵△AEC为等边三角形，∴AEAC，∴DGAE，在△DGF和△EAF中，∠DGF∠EAF∠DFG∠EFADGEA，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DFEF，即F为DE中点．20、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BEBD，F为DE的中点，连结AF、CF求证：1∠ADF∠BCF；2AF⊥CF证明：（1）在矩形ABCD中，∵∠ADC∠BCD90°，∴∠DCE90°，在Rt△DCE中，∵F为DE中点，∴DFCF，∴∠FDC∠DCF，∴∠ADC∠CDF∠BCD∠DCF，即∠ADF∠BCF；（2）连接BF，∵BEBD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFD90°，即∠BFA∠AFD90°，在△AFD和△BFC中ADBC∠ADF∠BCFCFDF，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD∠BFC，∵∠AFD∠BFA90°，∴∠BFC∠BFA90°，
11
fr