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硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等数学（含线性代数）适用专业：凝聚态物理，光学，生理学
一、填空题（每小题5分，共30分）d1211、设函数fx为可微函数，且f4，则f′dxxx4
．
e2xx1，x03x2、设fxπ，则limfx2x→0∫0si
tdt，x0x3
．
3、设xex是fx的一个原函数，则xf′xdx
∫
．
4、设函数yyx由方程x＝y确定，则
y
x
dydx
．
5、交换二次积分次序后，∫dy∫
1
0
1y
2
fx，ydx
．
116、已知α＝1，，）β＝1，，，A＝αTβ，（23，设其中αT是α的转置矩阵，A
＝则23
．
（以下10个题目，每题12分，共120分）二、求∫si
2xcos2xdx．
π
2π
I
fKSpace
三、已知fx∫
xx
1si
tdt，求∫fxdx．0t
四、试求∫2ydx3xdyz2dz，其中Γ为圆周x2y2z29，z＝0，若从z轴的正向看
Γ
去，这圆周是取逆时针方向．
222五、试求∫∫xyzdydzyxzdzdxzxydxdy，其中S为球面xa2yb2S
zc2R2的外侧．
II
fKSpace
六、求幂函数∑
12x
的和函数，并注明成立的范围．
0∞
七、将函数fx的和．
πx
2
在（0，2π）内展成周期为2π的傅里叶级数，并求出级数∑
1kk02k1
∞
八、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记33为A．已知MAOA，且L过点，，求L的方程．22
III
fKSpace
九、设fx与gx在区间（a，b）内可导，x∈a，b有fxg′xf′x≠0，试证明fx在（a，b）内最多只有一个零点．
十、已知向量组α1，α2，，α（s≥2）线性无关，设β1α1α2，β2α2α3，Ls
L，βs1αs1αs，βsαsα1，试证明当s为奇数时，向量组β1，β2，，βs线性无关；而当sL
为偶数时，向量组β1，β2，，βs线性相关．L
十一、设A，B为两个
阶矩阵，A有
个互不相同的特征值，试证明A的特征向量也总是B的特征向量的充分必要条件为AB＝BA．
IV
fr