第四章晶格振动和晶体的热学性质晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波）晶格振动对晶体的性质有重要影响主要内容晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解）晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）晶格振动的量子理论固体的热容量41一维单原子链的振动原子链共有N个原胞，每个原胞只有一个原子每个原子具有相同的质量m平衡时原子间距等于晶格常数a原子沿链方向运动第
个原子离开平衡位置的位移用x
表示第
个原子和第
1个原子间的相对位移为x
1x
一维单原子链
原子振动时，相邻两个原子之间的间距xa基本假设平衡时原子位于Bravais格点上原子围绕平衡位置作微振动简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项微振动时：1d2UdU
2UxUaUadx2dx2aa
简谐近似：势能展开式保留到二次项
微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
1
f把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容
2
f群速度是指波包的传播速度，dwdq也就是能量在介质中的传播速度。在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。42一维双原子链的振动
q趋于0时，w也趋于零，称为声学波
3
f43三维晶格的振动略一个原胞中有
个原子晶格基矢：a1、a2、a3原胞数目：NN1N2N3原子的质量：m1、m2、、msm
对于一个波矢q有3
个ω（即有3
支色散曲线）在3
支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω→0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了不同原胞之间的相对运动其余3
－3支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述
个格子之间的相对振动。晶格振动波矢的数目晶体原胞数一个波矢对应的频率数目一个原胞内原子的自由度数晶格振动频率的数目晶体的自由度数三维晶格中，波矢q是矢量，还需要考虑原子的位移方向与格波的传播方向之间的关系。一般情况下，原子的振动方向既不平行也不垂直波矢，只有在一些特殊方向（一般是布里r