第七章：微分方程
一、微分方程的相关概念1微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶2微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解3特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中二、微分方程的常见类型及其解法1可分离变量的微分方程及其解法
1方程的形式：gydyfxdx
2方程的解法：分离变量法3求解步骤
①分离变量，将方程写成gydyfxdx的形式；
②两端积分：gydyfxdx，得隐式通解GyFxC；
③将隐函数显化
2齐次方程及其解法
1方程的形式：dyydxx
2方程的解法：变量替换法
3求解步骤
①．引进新变量uy，有yux及dyuxdu；
x
dx
dx
②．代入原方程得：uxduu；dx
③．分离变量后求解，即解方程dudx；uux
④．变量还原，即再用y代替ux
3一阶线性微分方程及其解法
1方程的形式：dyPxyQxdx
一阶齐次线性微分方程dyPxy0dx
一阶非齐次线性微分方程dyPxyQx0dx
1
f2一阶齐次线性微分方程dyPxy0的解法分离变量法dx
通解为yCePxdxCR公式3一阶非齐次线性微分方程dyPxyQx0的解法常数变易法
dx对方程dyPxyQx，设yuxePxdx为其通解，其中ux为未知函数，
dx
从而有dyuxePxdxuxPxePxdx，
dx代入原方程有uxePxdxuxPxePxdxPxuxePxdxQx，
整理得uxQxePxdx，
两端积分得uxQxePxdxdxC，
再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解
yePxdxQxePxdxdxCCePxdxePxdxQxePxdxdx，公式
即非齐次线性方程通解齐次线性方程通解非齐次线性方程特解
第八章：空间解析几何与向量代数
一、向量
a


xa

ya

za

b


xb

yb

zb

c

xc

yc

zc

1向量a
xayaza


与bxbybzb的数量积：ab
a
b
c
os

xaxb

xbyb

zazb；

2
向量a
xayaza
与
b

xb

yb

r