《常微分方程》期末试卷16常微分方程》期末试卷
班级
得分
学号
姓名
评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．方程
dyysi
xex的任一解的最大存在区间必定是dx
．
．
2．方程y′′4y0的基本解组是
3．向量函数组Y1xY2xY
x在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式Wx0．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的5．
阶线性齐次微分方程的所有解构成一个条件．维线性空间．条件是它们
6．向量函数组Y1xY2xY
x在其定义区间I上线性相关的的朗斯基行列式Wx0，x∈I．
得分
评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解7
dy3ye2xdx
8x3xy2dxx2yy3dy09．eyy′x010．求方程y′′5y′si
5x的通解．11．求下列方程组的通解．
′
dxdtxydy4xydt
得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）
f12．设y1x和y2x是方程y′′qxy0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式Wx≡C，其中C为常数．
13．设x在区间∞∞上连续．试证明方程
dyxsi
ydx
的所有解的存在区间必为∞∞．
f《常微分方程》期末试卷参考答案常微分方程》
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．∞∞2．si
2xcos2x3．必要4．充分5．
6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解齐次方程的通解为
yCe3xyCxe3x
代入原方程，确定出Cx原方程的通解为
令非齐次方程的特解为
15xeC5
1yCe3xe2x5
8．解由于
MN2xy，所以原方程是全微分方程．yx
取x0y000，原方程的通积分为
∫
即
x
0
x3xy2dx∫y3dyC1
0
y
x42x2y2y4C
。
9．解令y′t，则原方程的参数形式为
xtety′t
由基本关系式
dyy′dxt1etdt
积分有
y
12tett1C2
f得原方程参数形式通解
xtet12tytet1C2
10．解方程的特征根为λ10，λ25齐次方程的通解为
。
yC1C2e5x
因为α±iβ±5i不是特征根。所以，
设非齐次方程的特解为
y1xAsi
5xBcos5x
25A25B125A25B0
确定出A
代入原方程，比较系数得
11，B5050
。
原方程的通解为11．解特征方程为
yC1C2e5x1λ4
1cos5xsi
5x。50
AλE
即
11λ
0
。特征根为
λ22λ30
λ13，λ21
。
λ13对应特征向量应满足
131a10413br