321直线的方向向量与平面的法向量
【学习目标】1．掌握平面的法向量的概念及性质理解平面的向量表示掌握直线与平面垂直的判定定
理能够由条件证明直线与平面垂直．2．理解掌握两个平面平行或垂直的条件能够利用向量的平行或垂直的条件证明两个平面
平行或垂直．
【学习重点】平面法向量的概念．
【学习难点】平面法向量的理解及灵活应用．
【学习过程】一．知识要点1．直线的方向向量
2．平面法向量的概念
的向量叫做直线l的方向向量．，那么称向量→
垂直于
平面α，记作→
⊥α．此时，我们把向量→
叫做平面α的法向量．说明：
⑴平面的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量；⑵一个平面的所有法向量平行．
3．平面法向量的表示式A是空间任一点，→
为空间任一非零向量，则→AM→
0表示通过空间内一点A
并且与一个向量→
垂直的平面．说明：
⑴满足→AM→
0的点M的轨迹是一个与向量→
垂直的平面．
⑵若
→1，→
2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合→
1∥→
2；
α⊥β
→1⊥→
2→
1
→20．
二．基础训练
1．已知A1，0，1，B0，1，1，C1，1，0），则平面ABC的一个法向量是
；
1
f这个法向量的单位向量是
．
2．平面α的一个法向量为
→11，2，1，平面β的一个法向量为→
23，4，2，
则平面α与平面β的位置关系是
．
3．已知向量→OA1，1，1，与→OA平行的单位向量→e是
．
4．原点O在平面α上的射影为P2，9，6，则平面α的方程为
．
三．例题讲解例1．如图，点E为矩形ABCD所在平面外一点，且AE⊥平面ABCD．已知△EAD是等腰三
角形，F，G分别是AB，EC的中点．
求证：→FG是平面ECD的法向量．
E
G
D
A
F
CB
2．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF1，M是线段EF
的中点．求证：
1AM∥平面BDE；2AM⊥平面BDF．
E
M
C
F
B
D
A
例3．求通过点P13，1，1，P21，1，0，且平行于→a1，0，2的平面．
2
f四．课堂练习
1．在空间直角坐标系中，下列向量中是平面xOz的法向量的是
．
2．平面α的一个法向量这1，2，0，平面β的一个法向量为2，1，0，则平面α与
平面β的位置关系是
．
3．已知向量→OA3，4，12，与→OA平行的单位向量→e是
．
五．课堂小结1．一个平面的法向量，其实就是该平面的一条垂线上的方向向量；直线的方向向量
和平面的法向量是不唯一的；
2．利用直线的方向向量和平面的法向量来解决空间的线、面的平r