则必有
AA的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关BA的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关CA的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
２
fDA的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关【分析】遇到Am
B
p0，就要想到rArB
以及B的列向量均是线性方程组
Ax0的解。
另外：遇到CAB要想到C的列组都是A的列组的线性组合，C的行组都是B的行组
的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。
◆2．设rAm
m
，则（）（多选）。（Ａ）ArEmO（Ｂ）AcEmO（Ｃ）对bR
，Axb必有无穷多解（Ｄ）若BAOBO（Ｅ）ATA0答案BCDE
【分析】
（I）A和B是化标准形的问题。这里A是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个
m阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来
ACBmmC此时B是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换
把后面的矩阵C消为零。故（B）是对的。（A）不对。
（II）对于（C）要知道，如果A是行满秩矩阵，则Axb一定是有解的，这是因为mrAm
rAm
bmrArAb
至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与
未知数的个数（即A的列数比较），由题设rAm
m
，故有无穷多解（C）
也是对的。
（III）对于D这是书上定理AXO只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的变形BAOATBTO这里AT是列满秩故D也是对的。
（IV）对于（E）要了解形如ATA的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结论一是ATA是一个对称半正定的矩阵（这用xTATAx0是很容易证明的），二是rArATA（这是书上的例题）。用第二个结论立即知ATA可逆（实际上是
３
f对称正定）的充要条件是A是列满秩。这样就（E）是对的。另外：对于Am
B
m型的矩阵，如果m
，一定有Am
B
m0（这是因为
rAm
B
mrA
m），记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如
果是方阵的话）
◆3．设A为
阶可逆矩阵
2，交换A的第1行与第2行得矩阵B，则（）
（Ａ）交换A的第１列与第２列得B（Ｂ）交换A的第１行与第２行得B（Ｃ）交换A的第１列与第２列得B（Ｄ）交换A的第１行与第２行得B
【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换A和第1
行和第2行得B，则有EijAB（左行右列原则），从而AB，由此关系
找A与B的关系：BBB1AA1Eij1AA1EijAEij
由此知C是对的r