第二章
相似矩阵及二次型
1试用施密特法把下列向量组正交化
1111a1a2a3124139
解
根据施密特正交化方法
1b1a111b2a2b1a21b101b1b1
1b1a3b2a312b3a3bbb1b11b2b2231
12a1a2a3011
1101
1110
解
根据施密特正交化方法
1b1a10111b1a213b2a2bb1b11321
f1babab3a313b123b213b1b1b2b25342下列矩阵是不是正交阵
1112311112121132
解
此矩阵的第一个行向量非单位向量故不是正交阵
1849992814999447999
解
该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故
为正交阵
3设x为
维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称
的正交阵证明因为HTE2xxTTE2xxTTE2xxTT
E2xTTxTE2xxT
所以H是对称矩阵因为HTHHHE2xxTE2xxT
fE2xxT2xxT2xxT2xxTE4xxT4xxTxxTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4设A与B都是
阶正交阵证明AB也是正交阵证明因为AB是
阶正交阵故A1ATB1BTABTABBTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量
2121533102
解
2λ12AλE53λ3λ13102λ
故A的特征值为λ1三重对于特征值λ1由
312101AE523011101000
得方程AEx0的基础解系p1111T向量p1就是对应于特征值λ1的特征值向量
f1232213336
解
1λ23AλE21λ3λλ1λ9336λ
故A的特征值为λ10λ21λ39对于特征值λ10由
123123A213011336000
得方程Ax0的基础解系p1111T向量p1是对应于特征值λ10的特征值向量对于特征值λ21由
223223AE223001337000
得方程AEx0的基础解系p2110T向量p2就是对应于特征值λ21的特征值向量对于特征值λ39由
1823111A9Er