常系数非齐次线性微分方程的算子解法
摘要：本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法，结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时，用这种方法可以直接求出一个特解，运算简单。关键词：线性微分方程；算子方法；特解
1引言微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程然而用上述的两种方法需经大量的运算甚至涉及到求解线性方程组基于上述的情况本文讨论求解线性微分方程的算子解法2基本概念对于常系数非齐次线性微分方程
d
xdt

a1
d
1xdt
1
a
xft
1
其中aii123
均为常数令D
ddt
表示对x求微商的运算称它为微分算子Dk
dkdtk
表示对x求k次
微商的运算于是方程1化为
D


a1D
1a2D
2a
1Da
xft
2
记PDD
a1D
1a2D
2a
1Da
称为算子多项式所以2的一个解可简单的表示为x特别地
11ft称为逆算子PDPD

11kftftdtkftftdtDD
k
3算子多项式31性质设PD是上述定义的算子多项式f1tf2t都是可导函数则有如下的结论
f1
11111ftftftP1DP2DP1DP2DP2DP1D
1f1tf2t1f1t1f2tPDPDPD
2
以上两式的证明均可以由简单的积分来完成从略32运算公式设PD是上述定义的算子多项式vt是可导函数a都是常数则有如下的结论1PDetPet2PD2cosatcosatPa23PD2si
atsi
atPa2






1
4PDetvtPDetvt证明
PDetD
a1D
1a
et
a1
1a
etPet
2因为eiatcosatisi
ateiatcosatisi
at，




eiateiat所以PDcosatPD2

2

2


11PD2eiatPD2eiat221122PiaeiatPiaeiat221eiateiatPa22






cosatPa2


3由2式证明可类似推之4根据莱布尼r