证明：（1）如图1，连结OA，OC，因为点O是等边三角形ABC的外心，所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA．2分AGOBFCE
SOFCG2S△OFCS△OAC，
D答案20题图（1）
f因为S△OAC所以SOFCG
1S△ABC，31S△ABC．4分3
（2）解法一：连结OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1∠2，5分A不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，E2∠AOC∠3∠4120°∠DOE∠5∠4120°，，3G∴∠3∠5．7分O45在△OAG和△OCF中，1CBF∠1∠2，D
OAOC，∠3∠5，
答案20题图（2）
∴△OAG≌△OCF，8分1∴SOFCGS△AOCS△ABC．9分3
A解法二：E不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，G3K作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K，5分O2在四边形HOKC中，∠OHC∠OKC90°∠C60°，，1CBHF∴∠HOK360°9090°60°120°，6分D即∠1∠2120°．答案第20题图（3）又Q∠GOF∠2∠3120°，∴∠1∠3．7分QACBC，∴OHOK，∴△OGK≌△OFH，8分
1∴SOFCGSOHCKS△ABC．9分3
21．解：方程换元法得新方程令解新方程检验求原方程的解
xt，则
x2x30
t11，t23
……2分
t110，t230（舍去）
……3分
x1，所以x1．
……4分
t22t30
……1分令
x2t，
则
xx240
t11，t22
……7分
t110，t220（舍去）
……8分
x21，所以x21，x3．
……9分
t2t20
……6分
f22．解：（1）在正方形ABCD中，ABBCCD4，∠B∠C90°，QAM⊥MN，A∴∠AMN90°，∴∠CMN∠AMB90°．在Rt△ABM中，∠MAB∠AMB90°，∴∠CMN∠MAB，∴Rt△ABM∽Rt△MCN．2分（2）QRt△ABM∽Rt△MCN，
D
NC
∴
ABBM4x，∴，MCCN4xCN
BM答案22题图
∴CN
x24x，4分4
1x24x11∴yS梯形ABCN44x22x8x2210，2422
当x2时，y取最大值，最大值为10．6分，（3）Q∠B∠AMN90°
∴要使△ABM∽△AMN，必须有
由（1）知
AMAB，7分MNBM
AMAB，MNMC∴BMMC，∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x2．9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
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