及d的值（2）若直线系M中至多有一条直线经过点Qxy，求点Q的轨迹方程。四、（本题满分20分）（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）已知对任意的实数x0，都有ex1
x
（1）长度为1的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木棍能组成三角形的概率P；（2）证明：l
3
11
2
11P，其中P为（1）中所求的概率。23
2
（必修4）已知函数fxx2asi
cosxaaR（1）判断fx的奇偶性（2）若fx0仅有一个实数解，求a的值五、（本题满分20分）已知两条直线l1：ym1和l2：y
4m1，l1与函数yl
xm1
的图像从左至右相交于点A、B，l2与函数yl
x的图像从左至右相交于点C、D。
f记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b。记A、B、C、D四点的横坐标分别为x1、、x3、x4。（1）证明：x1x2x3x41；（2）求
b的最小值a
2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题1、2
1501
；
2、1；
3、3；
4、
2；9
5、17；
6、4
7、0
43（必修3）bs；（必修4）1；；8、2；9、33
10、1511由AE平分
B
二、证明：（1）延长AE交圆O1与F连接CF1。1，
BACBAEDAE，结合ABADDA，E，故BAEBD，
而CF1AB
CF1ECF1AD
O1E
F
C，E，F1，D四点共圆
F重合，因此F1也是两圆的交点，从而F1和
AC
O2D
即A，E，F共线。图2（2）由A，E，F共线，AE平分BACBFCF，由对称性得出BFDF，故CFBFDF，因此CFD为等腰三角形，由于O2为其外心，故O2FCD即O2FAD三、（1）由点到直线的距离公式得：d
ax0by02b1a2b2
ax0by021
因d是常数，故
x00x00，即P02，从而d1y020y02
（2）由（1）知，P02到直线系M中任一条直线的距离都是1，因此直线系M中每一条直线都是以P为圆心，以1为半径的圆（圆xy21）的切线
22
由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q点的轨迹是圆及其内部，即xy21
22
四、（必修3）解：设较长的一段长度为a，将a分成的两段长为x，y，
f1axy1，2
1r