华东第四版数学分析答案
【篇一：数学分析上册第三版华东师范大学数学系编】
部分习题参考解答p4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）ax是无理数；（2）当a0时，ax是无理数。证明（1）（反证）假设ax是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知xaxa是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数。（2）假设ax是有理数，于是xax是无理数。5．证明：对任何xr有（1）x1x21；（2）x1x2x32证明（1）1x1x2x1x2（2）因为2x32x3x1x1x2，所以x1x2x326．设abcr证明axa是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ab22ac22bc证明建立坐标系如图，在三角形oac中，oa的长度是ab，oc的长度是ac，ac的长度为bc。因为三角形两边的差大于第三边，所以有2222ab22ac22bc7．设x0b0ab，证明axbx
fabbxaxbx介于1与abab之间。证明因为1abb1，axbxaxbxababbaxbbxabbab1所以介于1与之间。p是无理数。p
m8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则证明（反证）假设p为有理数，则存在正整数m、
使得，其中m、
互素。于是m2p
2，因为p不是完全平方数，所以p能整除
，即存在整数k，使得
kp。于是m2pk2p2，m2k2p，从而p是m的约数，故m、
有公约数p。这与“m、
互素”矛盾。所以p9习题2．设s为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）s无上界；若m，x0s，使得x0m，则称s无上界。（请与s有上界的定义相比较：若m，使得xs，有xm，则称s有上界）（2）s无界。若m0，x0s，使得x0m，则称s无界。
f（请与s有界的定义相比较：若m0，使得xs，有xm，则称s有界）3．试证明数集syy2xxr有上界而无下界。2证明xs，有y2x2，故2是s的一个上界。2p是无理数。1而对m0，取x0集s无下界。23m，y02x01ms，但y0m。故数4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）sxx22xr解sups类似进行）。xs，有下面依定义加以验证sups2，i
fs2。2（i
fs2可2x2，即2是s的一个上界，2是s的一个下界。22，则由实2，若2，则x0s，都有x0；若2r数的稠密性，必有实数r，使得sups2。2，即rs，不是上界，所以（2）sxx

解s无上界，故无上确界，非正常上确界为sups。i
fs1。xs，有x
1，即1是s的一个下界；1，因为11s，即不是s的下界。所以i
fs1。3sxx为01内的无理数解仿照教材r