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利用导数解决一些函数问题
作者：邓格来源：《新课程中旬》2014年第03期
摘要：随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时不可缺少的工具。有关导数在高中数学中的应用主要类型有：求极限、求函数的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式、求参数范围、解决实际问题等，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一。下面通过例题谈谈怎样利用导数解决一些函数问题。关键词：导数；函数问题；应用类型类型一：利用导数求函数的切线例1求曲线yx32x21过点p（2，1）的切线方程解：（1）切点为p点时，由x2时y′4可得切线方程为4xy70（2）切点不是点p时，设为p0（x0，y0），则有y1（3x204x0）（x2）又因为切点是曲线上的点，所以有y0x302x201可以求出x00，2，其中x02是切点为p的情况，所以x00求得切线方程为y1这是一类易错题型，很容易忽略切点不是p点的情况，解题时需要注意，“求在点p处的切线”和“求过点的切线”二者的不同。类型二：利用导数判断函数的单调性例2求函数y2x34x22x的单调区间。解：y′6x28x2，由y′0得6x28x20，解得x1由y′故所求单调增区间为（∞，■），（1，∞），单调减区间为（1，■）利用导数判断函数单调性的步骤是：
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（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）0和f′（x）（4）确定f（x）的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。类型三：利用导数求函数的极值、最值例3求函数f（x）x327x的极值解：由f′（x）3x2270，解得x3或x3当x变化时，y′、y的变化情况如下：■当x3时，y有极大值f（3）54，当x3时，y有极小值f（3）54求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；（2）求f′（x）0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值。求出极值后再将极值与端点值进行比较，就可以得到最值了。在一些不等r