第12章圆
§121圆的基本性质
1211★有一个矩形ABCD，边AB经过圆心O，E、F分别是边AB、CD与O的交点，若AE3，AD4，DF5，求⊙O的半径．解析如图，连结FO，则有AODF2DA2FO2．
DFC
AE
O
B
设半径为r，则易知AODF3r5r2，故r2216r2，r5．1212★如图，已知A是半径为20的O上一点，以OA为对角线作矩形OBAC，且OC12，直线BC与O交于点D、E，求CEBD的值．
ECMOBDA
解析设DE的中点为M，则OMDE．因为OB20212216，所以OBOC161248，OMBC2053664，BM．CMOC2OM255643628所以CEBDEMCMDMBMBMCM．5551213★★锐角三角形ABC中，H是垂心，D是BC中点，延长HD，交△ABC的外接圆于E，则D是HE中点．OMDF，解析如图，延长高AG至圆于F，则BC垂直平分HF（留给读者），设O为圆心，HDDF．ONEH，则易知MDONDO故OMON，，MDND，于是ENMF．故EDENDNMFMDDFDH．
A
OMBEDNG
HCF
评注本题若用同一法，更为简单．1214★ABCD是一个边长为1的正方形，P、Q是平面上的点，且Q为△BPC的外心，D是△PQA的外心．求PQ的长所能取到的值．解析以D为圆心，DA为半径作圆，则点Q在圆上．又Q为△BPC的外心，故Q在BC的中垂线l上．于是Q只能取如图所示的点Q1和Q2．注意到PQQB，因此只需计算Q1B和Q2B的值．
fQ2E
A
D
Q1BlC
2
31设E为AD与l的交点（即AD的中点），则由勾股定理可知Q1EQ2E1．因此，22
231Q1B123，22231Q2B123．2222
所以，PQ的可能值为23．1215★已知△ABC为锐角三角形，过点B、C的O与边AB、AC分别相交于点D、E，若O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则O一定过△ABC的外心．
A
D
EC
B
解析因为△ABC为锐角三角形，所以BAC、ABE均为锐角．又因为O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BACABE，于是，BECBACABE2BAC．设△ABC的外心为O1，则BO1C2BAC，所以，O一定过△ABC的外心．1216★★设D为锐角△ABC内一点，且△ABC、△ABD、△BCD和△ACD的外接圆中有3个半径相同r