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第12章圆
§121圆的基本性质
1211★有一个矩形ABCD,边AB经过圆心O,E、F分别是边AB、CD与O的交点,若AE3,AD4,DF5,求⊙O的半径.解析如图,连结FO,则有AODF2DA2FO2.
DFC
AE
O
B
设半径为r,则易知AODF3r5r2,故r2216r2,r5.1212★如图,已知A是半径为20的O上一点,以OA为对角线作矩形OBAC,且OC12,直线BC与O交于点D、E,求CEBD的值.
ECMOBDA
解析设DE的中点为M,则OMDE.因为OB20212216,所以OBOC161248,OMBC2053664,BM.CMOC2OM255643628所以CEBDEMCMDMBMBMCM.5551213★★锐角三角形ABC中,H是垂心,D是BC中点,延长HD,交△ABC的外接圆于E,则D是HE中点.OMDF,解析如图,延长高AG至圆于F,则BC垂直平分HF(留给读者),设O为圆心,HDDF.ONEH,则易知MDONDO故OMON,,MDND,于是ENMF.故EDENDNMFMDDFDH.
A
OMBEDNG
HCF
评注本题若用同一法,更为简单.1214★ABCD是一个边长为1的正方形,P、Q是平面上的点,且Q为△BPC的外心,D是△PQA的外心.求PQ的长所能取到的值.解析以D为圆心,DA为半径作圆,则点Q在圆上.又Q为△BPC的外心,故Q在BC的中垂线l上.于是Q只能取如图所示的点Q1和Q2.注意到PQQB,因此只需计算Q1B和Q2B的值.
fQ2E
A
D
Q1BlC
2
31设E为AD与l的交点(即AD的中点),则由勾股定理可知Q1EQ2E1.因此,22
231Q1B123,22231Q2B123.2222
所以,PQ的可能值为23.1215★已知△ABC为锐角三角形,过点B、C的O与边AB、AC分别相交于点D、E,若O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则O一定过△ABC的外心.
A
D
EC
B
解析因为△ABC为锐角三角形,所以BAC、ABE均为锐角.又因为O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,且DE为两圆的公共弦,所以BACABE,于是,BECBACABE2BAC.设△ABC的外心为O1,则BO1C2BAC,所以,O一定过△ABC的外心.1216★★设D为锐角△ABC内一点,且△ABC、△ABD、△BCD和△ACD的外接圆中有3个半径相同r
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