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正弦定理和余弦定理
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
余弦定理
内容
asi

A=si
b
B=si
c
C=2R
R为△ABC外接圆半径
a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
1a=2Rsi
A,b=2Rsi
B,c=2Rsi
C;cosA=b2+2cb2c-a2;
常见变形2si
A=2aR,si
B=2bR,si
C=2cR;cosB=a2+2ca2c-b2;
3a∶b∶c=si
A∶si
B∶si
C
cosC=a2+2ba2b-c2
1已知两角和任一边,求其他两边和一角;1已知三边,求三个角;
解决的问题2已知两边和其中一边的对角,求另一边和2已知两边和它们的夹角,求第三边和其
其他两角
他两角
2在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsi
A
bsi
A<a<b
解的个数
一解
两解
3三角形中常用的面积公式
1S=12ahh表示边a上的高.
2S=12bcsi
A=12absi
C=12acsi
B
1.三角形中关系的判断
辨析感悟
1
a≥b一解
a>b一解
f1在△ABC中,si
A>si
B的充分不必要条件是A>B
×
2教材练习改编在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,则A=60°或120°√
2.解三角形
3在△ABC中,a=3,b=5,si
A=13,则si
B=59

4教材习题改编在△ABC中,a=5,c=4,cosA=196,则b=6

3.三角形形状的判断
5在△ABC中,若si
Asi
B<cosAcosB,则此三角形是钝角三角形.

6在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.
×
感悟提升
1.一条规律在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大
的角也较大,即在△ABC中,A>Ba>bsi
A>si
B,如1.
2.判断三角形形状的两种途径一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦余弦定理实
施边、角转换
考点一利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】12013湖南卷在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b若2asi
B=3
b,则角A等于.
π
π
π
π
A3
B4
C6
D12
22014杭州模拟在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=42,
B=45°,则si
C=______
解析1在△ABC中,由正弦定理及已知得2si
Asi
B=3si
B,∵B为△ABC的内角,∴si
B≠0
∴si
A=23又∵△ABC为锐角三角形,∴A∈0,2π,∴A=π3
2由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=1+32-82×22=25,即b=5
所以si
C=csbi
B=4
2×5
22=45
2
f答案
1A
425
规律方法已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,
该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界r
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