正弦定理和余弦定理
知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
asi

A＝si
b
B＝si
c
C＝2R
R为△ABC外接圆半径
a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC
1a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C；cosA＝b2＋2cb2c－a2；
常见变形2si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR；cosB＝a2＋2ca2c－b2；
3a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C
cosC＝a2＋2ba2b－c2
1已知两角和任一边，求其他两边和一角；1已知三边，求三个角；
解决的问题2已知两边和其中一边的对角，求另一边和2已知两边和它们的夹角，求第三边和其
其他两角
他两角
2在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsi
A
bsi
A＜a＜b
解的个数
一解
两解
3三角形中常用的面积公式
1S＝12ahh表示边a上的高．
2S＝12bcsi
A＝12absi
C＝12acsi
B
1．三角形中关系的判断
辨析感悟
1
a≥b一解
a＞b一解
f1在△ABC中，si
A＞si
B的充分不必要条件是A＞B
×
2教材练习改编在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°√
2．解三角形
3在△ABC中，a＝3，b＝5，si
A＝13，则si
B＝59
√
4教材习题改编在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝196，则b＝6
√
3．三角形形状的判断
5在△ABC中，若si
Asi
B＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．
√
6在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．
×
感悟提升
1．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大
的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsi
A＞si
B，如1．
2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦余弦定理实
施边、角转换
考点一利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】12013湖南卷在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b若2asi
B＝3
b，则角A等于．
π
π
π
π
A3
B4
C6
D12
22014杭州模拟在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，
B＝45°，则si
C＝______
解析1在△ABC中，由正弦定理及已知得2si
Asi
B＝3si
B，∵B为△ABC的内角，∴si
B≠0
∴si
A＝23又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈0，2π，∴A＝π3
2由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－82×22＝25，即b＝5
所以si
C＝csbi
B＝4
2×5
22＝45
2
f答案
1A
425
规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，
该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界r