143正弦函数、余弦函数的性质
疱工巧解牛知识巧学一、正切函数的周期π是正切函数的周期在这里，我们用两角和的正切公式ta
αβ
ta
ta
证1ta
ta

明π是正切函数的最小正周期设T是正切函数的最小正周期且0＜T＜π，那么，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有ta
xTta
x令x
1ta
T1，解得ta
T0，此时Tkπ，k∈Z，这与0＜T＜π相矛盾这说明上述ta
T01ta
T
是不可能的，于是T必须等于π，即正切函数的最小正周期是π学法一得1周期函数的定义中“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”的含义是指函数定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得fx0T≠fx0，那么T就不是函数fx的周期2根据问题所给的全部信息，选包含在问题中的题设或结论中的某个特殊值，导出问题的答案，再进一步论证其正确性的方法，称之为特殊化法二、正切函数的奇偶性由诱导公式三可知，ta
xta
x又因为正切函数的定义域是x∈R，且x≠
代入上式，得ta
Tta
1，即444
kπk∈Z，它关于原点对称，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称2
三、正切函数的单调性过单位圆与x轴的正半轴的交点A10作单位圆的切线，它与角α的终边当角α为第一、四象限时或其反向延长线当角α为第二、三象限时相交于点T，我们就把有向线段AT叫做角α的正切线设角α∈

2

2
，当α由小变大时，可见它的正切线在负的方向上由长逐渐变短
到零，再在正的方向上由零逐渐变长结合正切函数的周期性可知，正切函数在开区间
kπkπk∈Z内都是增函数22
四、正切函数的值域由正切函数线的变化规律可知，正切函数在给定的定义域上没有最值，它的值域是y∈R五、正切函数的对称性正切函数是中心对称图形，同一支曲线的对称中心是图象与坐标轴的交点kπ，0，k∈Z
kπ，0，k∈Z由于2kk终边落在坐标轴上的角是α，k∈Z，可知切函数的对称中心是，022六、用正切线作正切函数yta
x，x∈，的图象22
相邻的两支曲线的对称中心是它们的公共渐近线同坐标轴的交点
1
f1由任意角的三角函数的定义可知，正切函数yta
x的定义域是xx∈R且x≠
kπ，2
k∈Z，即角x的终边不能落在y轴上结合单位圆中正切线的画法及其周期性，我们选择
这一区间内作它的图象是最为适宜的222作正切函数yta
x，x∈，的图象的步骤22
在，1建立r