【内容综述】
韦达定理及其应用韦达定理及其应用
设一元二次方程
有二实数根
，则
，
。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且思路注意a，b为方程解（1）当ab时，
，的二实根；（隐含
，求）。
的值。
；
（2）当韦达定理得
时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程
，ab1
的两根，由
说明此题易漏解ab的情况。根的对称多项式
方程的系数表达出来。一般地，设，为方程有递推关系。
，
，
等都可以用
的二根，
，则
其中
为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若
，
且
，试求代数式
的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为
，由根的定义知m，
为方程
的二不等实根，再由韦达定
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f理，得，
∴
韦达定理及其应用
2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程
的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；
（2）若以和为根的一元二次方程仍为程。
解（1）由韦达定理知
，
。
。求所有这样的一元二次方
，
。
所以，所求方程为
。
（2）由已知条件可得
解之可得由②得，分别讨论（pq）00，10，10，01，21，21或01。
于是，得以下七个方程
，
，
，
，
，
x22x10，x210，其中x210无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：
，
，求证ab。
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f韦达定理及其应用
证明由已知得
，
。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①由a，b为实数知此方程有实根。
。
∴c20，故c0，从而。这表明①有两个相等实根，即有ab。说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c0后，由恒等式
可得
，即ab。此方法较第一种烦琐，且需一
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