第三章矩阵的分解矩阵的特征值与特征向量Eige
values一矩阵的特征值与特征向量Eige
valuesa
dEige
Vectors
1矩阵的特征值与特征向量解Axλx运算式中的λ及其所对应的非零的向量x我们称λx为矩阵A的特征值与特征向量。改写原式为AλIx0I是单位矩阵我们令PλdetAλI0则IIPλ的展开式称为矩阵A的特征多项式解出矩阵A的特征多项式就可得矩阵A的所有eige
values。再将每一个eige
value代入原式中即可求出其相对应的eige
vectors。
例1解矩阵A9316137163310的特征值与特征向量。【解1】先利用函数poly求出矩阵A的特征多项式再用roots函数求出特征多项式所有的根。
A9316137163310利用一个向量来储存此多项式的系数polyA利用一个向量来储存此多项式的系数rootspolyA
a
s10000800004400002400000a
s1000004000060000
上面输出结果中第一个a
s是A的特征多项式的系数即Pλλ38λ244λ240第二个a
s是A的eige
values1046
接着针对某个特征值我们找出其对应之特征向量利用rref函数求出AλI的rowreducedechelo
form或是A利用
ull函数求出AλI
ullspace的基底向量A第三章第1
fA9316137163rrefA10eyesizeA
ullA10eyesizeAa
s100100a
s057740577405774
3
10
110
上面输出结果中第一个a
s是AλI的reducedrowechelo
formxx30即1令x3tt≠0x2x30
t得xtt
11t为10所对应的eige
vectors1
第二个a
s是AλI
ullspace的基底向量这个基底向量的长度为1上述的解x当取t1再除以
ormx即可得这个基底向量。依此方法将其他的eige
vectors求出。
【解2】使用matlab函数eigeig有两种不同的输出形式
eigA只传回eige
values而VDeigA则传回D是由eige
values形成的diago
almatrixV是由eige
values所对应的eige
vectors形成的matrix满足AVVD当V是
o
si
gular时则表示矩阵A可对角化。
A111201110eigA传回eige
values所形成的行向量D是由eige
values形成的diago
almatrixVDeigAV是由eige
values所对应的eige
vectors形成的matrix
第三章第2
fa
s141421414210000V019130732506533D1414200
0461908446027060141420
0000007071070710010000
在上面的输出结果中V的第一行行向量为eige
value14142所对应的eige
vector第二行行向量为eige
value14142所对应的eige
vector第三行r