解微分方程的欧拉法，龙格库塔法简单实例比较
欧拉方法（Eulermethod用以对给定初值的常微分方程即初值问题求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点：欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。
改进欧拉格式（向前欧拉公式）：
为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法：微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：
dyfxydx
xab
yay0
可以将区间ab分成
段，那么方程在第xi点有yxifxiyxi，再用向前差商近似代替导数则为：
yxi
1yxih

fxiyxi

在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi的数值计算出yi1来：
yi1yihfxiyii012L
这就是向前欧拉公式。
改进的欧拉公式：
f将向前欧拉公式中的导数fxiyi改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。
可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式：
数值分析中，龙格－库塔法（Ru
geKutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为fx
y
而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。
龙格库塔方法的基本思想：
在区间x
x
1内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。
yftyyt0y0
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
其中
y
1

y


h6k1
2k2
2k3
k4
k1ft
y

k2

f
t


h2y


h2k1

hhk3ft
2y
2k2
k4ft
hy
hk3
f这样，下一个值y
1由现在的值y
加上时间间隔h和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
k1是时间段开始时的斜率；
k2
是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率
k1
来决定
y
在点t


h2
的
值；
k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
slopek12k22k3k46
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。注
意上述公式对于标量或者向量函数y可以r