精品文档用心整理
人教版高中数学选修21
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
立体几何中的向量方法【学习目标】1理解直线的方向向量与平面的法向量。2能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。3能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。4能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。【要点梳理】
要点一、直线的方向向量和平面的法向量1直线的方向向量：
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。
要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2平面的法向量定义：
已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为
（x，y，z）；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a（a1，b1，c1），b（a2，b2，c2）；
资料来源于网络仅供免费交流使用
f精品文档用心整理
（iii）根据法向量的定义建立关于
x、y、z
的方程



ab

00
；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行
设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1l2，只需证明ab，即akbkR。
（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0。
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线r