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函数的值域与最值函数的值域与最值
【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法换元必换限（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例1：求下列函数的值域。2x1（1）y；2x1（2）ylg12cosx；（3）y2x2x1；（4）y
x22x1；x1
（5）ylgxx26x1≤x≤2；（6）y
3si
x。2cosx
解：（1）解一分离常数法：y
2x12x1221≠1y∈∞1U1∞2x12x12x12x1y1解二反函数法：y2y2x1yxy≠12x12y2
（2）基本函数性质法：cosx∈1112cosx∈13又12cosx0
12cosx∈03y∈∞lg3
（3）换元法：令t2x1≥0，则2xt21
13y2x2x1t1tt又t≥0y∈1∞24
22
（4）基本不等式法：令tx1≠0，则xt1y当t0时，y≥2t
t1
2
2t11t
t
44t
440，当且仅当t2即x1时取等号t
1
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当t0时，y≤2t
448，当且仅当t2即x3时取等号t
∴y∈∞8U0∞（5）单调性法：y1lgx在12上单调增且y2x26x在12上单调增
yy1y2在12上单调增y∈58lg2
（6）数形结合法：设Pcosθsi
θ、Q23，则kPQ设y3kx2
32k
2
3si
xy2cosx
23232323≤1k∈222即y∈23333k1
例2：函数fxax2a1在区间11上的值有正有负，求实数a的取值范围。解：令fxax2a10①若a0fx1显然不符题意②若a≠0x
2a12a1111a∈1aa3
1∴综上所述，a∈131x例3：已知函数fxtxt0，gt为fx在01上的最小值，求函数gt的最t
大值并画出gt的图象。
11解：fxtxtt11①t0即t1时，fx在01上递增gtf0tt1②t0即t1时，fx1gt1t1③t0r