专题：正态分布和线性回归
一、基础知识回顾
1正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数fx
1
e

x222

x


的图象
2
其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值为正态分布的平均值；是
正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参
数唯一确定，记作N2ED2
2函数fx图象被称为正态曲线．
1从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对．称．轴．为．x．．μ．，．并．在．x．．μ．时．取．
最．大．值．。2从xμ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相
交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的3当μ的值一定时σ越大，曲线越“矮
胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．
3把N01即μ0σ1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体其密度函
数为fx
1
1
e2
x2
，x∈∞，∞，相应的曲线称为标准
正
2
态曲线．
４利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取
值
的概率
1对于标准正态总体N01，x0是总体取值小于x0的概率，即：x0Pxx0，其中x00，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于x0的概率．2标准正态曲线关于y轴对称。因为当x00时，x0Pxx0；而当x00时，根据正态曲线的性质可得：x01x0，并且可以求得在任一区间x1x2内取值的概率：Px1xx2x2x1显然Φ005
1
f5对于任一正态总体N2都可以通过使之标准化N01那么
PxPxx，求得其在某一区间内取值的概率


例如N14那么设1则N01有P3P11084132
6Φ108413、Φ209772、Φ309987
二、例题
1下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
（1）fx
1
x2
e2
，（∞＜x＜∞

2
（2）fx
1
x12
e8
，（∞＜x＜∞
22
（3）fx2e2x12，（∞＜x＜∞
2
2正态总体的函数表示式是fx2e2x12，（∞＜x＜∞（1）求f（x）的最大值；2
（2）利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．
3利用标准正态分布表Φ108413、Φ209772、Φ309987求标准正态总体在下面
区间取值的概率．
（1）（0，1）；
（2）（1，3）；
（3）（1，2）．
４利用标准正态分布表Φ108413、Φ18409671，求正态总体在下面区间取值的概
率．
（1r