极速秒杀法椭圆经典结论
结论1：椭圆焦点三角形周长：PF1F2周长2a2cMNF2周长4a；
例题：（1）椭圆
x23

y21
1，点AB
经过椭圆左焦点，ABF2的周长。
解：ABF2周长4a43。
（2）过椭圆x225
y29
1左焦点作直线与椭圆交于
AB，若
AF2

BF2
12，求AB
的值。
解：ABF2周长4a12ABAB8。

结论2：焦点三角形离心率：e2c2a

F1F2PF1PF2
cos
；e

2
（
PF1F2，
PF2F1）；
cos
2
例题：（1）过椭圆
x2a2

y2b2
1左焦点作x轴的垂线与椭圆交于P，若F1PF2
60
，求离心率。
解：e2cF1F23t3。2aPF1PF23t3
（2）过椭圆x212

y2m
1右焦点F2作
x
轴的垂线与椭圆交于
AB，若ABF1为正三角形，求椭圆方程。
coscos3090
解：
e

cos

2

cos30
290
13
12mm823
。
2
2
（3）已知正方形ABCD，求以A，B为焦点且过C，D的椭圆的离心率。
解：e2cF1F2t21。2aPF1PF22tt
（4）在三角形ABC中，ABBC，cosB7，求以AB为焦点，且过C的椭圆的离心率。18
解：AC225t2AC5te2cF1F2t3。
9
3
2aPF1PF25tt8
3
（5）设以
x2a2

y2b2
1的右焦点F2为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为
M，若F1M
与圆相切，求e
解：e2cF1F22c31。2aPF1PF23cc
f结论
3：焦点三角形之夹角：
SPF1F2
b2
ta

2

e

si

2
，1，
F1PF2
；
例题：已知椭圆
x2a2

y2b2
1的两焦点，P
为椭圆上点且F1PF2
120
，求离心率取值范围。
解：
e

si

2
，1

e



32
，1
。
结论
4：中点弦斜率：则
x2a2
y2b2
b21ka2
x0；x2y0b2
y2a2
a21kb2
x0；y0
例题：1已知椭圆
x2b2

y2a2
1的焦点F（0，50）被直线y3x2截得弦中点横坐标为
12
，求椭圆方程。
1
解：中点（1，1），c250k3a2
2
y2x2
1。
22
b217525
2
2已知椭圆x2y21，确定m取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。43
解：设AB中点（x0，y0）k


14


34
x0y0

y0

3x0，
中点（m，3m）在椭圆内m29m21213m213。
43
13
13
结论5：椭圆上任意不与x轴垂直弦AB中点M，O为原点，则kAB
kOM

b2a2
e2
1
；
例题：1过点M（11）作斜率为12
的直线与椭圆
x2a2

y2b2
1交于
AB两点，且
M为AB中点，求离心率。
解：
1
b21
kOM1KAB2kAB
kOM
a2
e2
2。2
（2）过椭圆
x2a2

y2b2
1的右焦点直线x
y
30交椭圆于AB两点，且p为AB中点，OP斜率为1，求椭2
圆方程。
解：
1
b21
kOP1KAB2kAB
kOM
a2
2
F（3，0）a
6b
x23

y2
1。
63
（3）椭圆
r