0ab103aa2b300ab03分
当a0且ab时，β可由αα2α3唯一地线性表示1
112
当a0时，不能由
1a
1a
2分
1、2、3线性表示1分1、2、3线性表示，且表示不唯一
当ab0时，可由
f236、143a…………………………2228130851a
分第一种情况是2是二重特征值，此时a，另外一个特征值为26…………………………1分第二中情况是
1
81308a有两个相同的根，此时a2，二重特征值
2
3
为4…………………………1分
212133当a时，2132EA20，所以200即REA1120030
此时A可对角化…………………………2分
322当a时，4EA103213
化…………………………2分
33，此时REA2，所以A不可对角41
1117、二次型矩阵为A111…………………………2分111
由
得E30A
2
A
的特征值为
012
，
33…………………………2分
解方程组
EA，0X
得
其
基
础
解
系
为
TXT21011X011
标

准
正
T2
交
化
为
X1001…………………………1X1T12222
1分
fT解方程组EA，得其基础解系为X1113X3
T单位化为X111…………………………1分3

3
3
3
另
QXXX123

XQY
，
得
f1233yy23y…………………………2分y
8、
1a1a20a1…………………………2分1a1
1a14a12aa…………………………4分5240a05251
4a0…………………………2分5四、证明题证明：
所以（必要性）初等变换不改变矩阵的秩，所以RR…………………………2AB分（充分性）Rr则A、的标准型都为设R，BAB分即A、B都与
ErO
OO
…………………2
ErO
OO
等价，从而A与B等价。…………………………2分
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