dt
1dy
e
dx
t0
2
dx
t0

2
d2tdx2
t0


34

d2ydx2
t0
e22
3e4
7．求由下列方程确定的隐函数yyx的微分dy：
⑴y1xey；⑵x2y21；a2b2
⑶yx1si
y；⑷y2xarccosy2
解：⑴对等式两端微分，得
dyeydxxdey
即dyeydxxeydy
于是dyeydx1xey
⑵对等式两端微分，得
1a2

2xdx

1b2

2ydy

0
得
dy


b2a2
xy
dx
⑶对等式两端微分，得
dydx1cosydy2
解得dy2dx2cosy
⑷对等式两端微分，得
f2ydydx1dy1y2
解得dy
1y2dx
12y1y2
8．利用麦克劳林公式，按x乘幂展开函数fxx23x13
解：因为fx是x的6次多项式，所以
fxf0f0xf0x2f0x3f40x4f50x5f60x6
2
3
4
5
6
计算出：f01f09f060f0270，
f40720f501080f60720
故fx19x30x245x330x49x5x6
9．求下列函数在xx0处的三阶泰勒展开式：
⑴yxx04⑵yx1l
xx01
解：⑴
y

1
1
x2

y


1

x
32
y

3

x
52
y4

15
7
x2
2
4
8
16
所以y41y41y43
4
32
256
y44x4
15
7
164x42
故
x
2
14
x

4

164
x

42

1512
x

43

5x441284x
7
42
01
⑵l
1xxx2x3x42341x4
yx1l
xx1l
1x1
x12x13
x14
x1x12341x14

x
12

x
132

x
143

x1541x14

10．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
解：V4πr3Aπr2drv
3
dt
fdVdVdr4πr2vdtdrdtdAdAdr8πrvdtdrdt
11．设总收入和总成本分别由以下两式给出：
Rq5q0003q2Cq30011q
其中q为产量，0≤q≤1000，求：1边际成本；2获得最大利润时的产量；3怎样的生产量能使盈亏平衡？解：1边际成本为：
Cq30011q11
2利润函数为
LqRqCq39q0003q2300Lq390006q令Lq0得q650
即为获得最大利润时的产量3盈亏平衡时：RqCq即39q－0003q2－3000q2－1300q1000000解得q1218舍去，q82
12．下列函数是由哪些基本初等函数复r