2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________题号一总分得分
一、解答题
1．求由方程
yetdt
x
costdt0所确定的隐函数yyx的导数
0
0
解：方程两边对x求导，有
eyycosx0
又ey1si
x
故ycosxsi
x1
2．求ux22y2z24xy4x2y8z在点O0，0，0，A1，1，1，B1，1，1的梯
度，并求梯度为零的点
解：428210610610
3
52

4
3．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导
si
x
1
y


x3

x0x0x00
证明：
f0

lim
x0
fxf0
si
x
lim1
x0
xx0
f0

lim
x0
fxf0x0
limx0
x3x
0
因f0f0，故函数在x00处不可导
2
x
y

1

1
ex

0
x0x0
x00
证明：
f0

lim
x0
f
xx

f0
0

lim
x0
1
1
1ex
0
f0

lim
x0
fxf0
1
x0

lim
x0
1
1
ex
1
因f0f0，故函数在x00处不可导
f3
y

x

x
2


x1x1
x01
证明：
f1

lim
x1
fxf1x1
limx1
x11x12
f1

lim
x1
fxf1x1
limx1
x212x1
因f1f1，故函数在x01处不可导
4．若
fπ1y3
farccos1，求dy
x
dx
x2

解：
dyfarccos1
dx
x
1
1
112x2
x
dydx
x2
fπ3
41121344323
5．已知

x
y
etet
si
tcost
求当t

π3
时
dydx
的值
解：
dy
dydx

dtdx

etcostetsi
tetsi
tetcost

costsi
tsi
tcost
dt
dydx
tπ3
cosπsi
π

si

3π

cos
3π

33
32
6．设yfx是由方程组
x3t22t3

y

e
y
si

t
1
所确定的隐函数，求d2ydx2
t0
解：分别对已知方程组的两边关于x求导，得：
f1

6t

dtdx

2
dtdx


dy

ey
dy
si
t

ey
cost
dt

dxdx
dx
再对x求一次导，得
0

6dt2dx

6t
d2tdx2

2
d2tdx2


d
2
y
dx2

ey
dydx
x
si
t

2ey
dydx
cost
dtdx
ey
si
tdt2dx

ey
cost
d2tdx2

将t0yt01代入上述各式，得
r