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第7讲
【2013年高考会这样考】
立体几何中的向量方法一
1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．
基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算1数量积的坐标运算设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则①a±b＝a1±1，a2±2，a3±3；bbb②λa＝λa1，λa2，λa3；③a1b1＋a2b2＋a3b3b＝a2共线与垂直的坐标表示设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则a∥ba＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3λ∈R，a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a，b均为非零向量．3模、夹角和距离公式设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，
2则a＝aa＝a1＋a2＋a2，23
abcos〈a，b〉＝ab＝
a1b1＋a2b2＋a3b322a1＋a2＋a2b2＋b2＋b32312
设Aa1，b1，c1，Ba2，b2，c2，→则dAB＝AB＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c122．立体几何中的向量方法
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1直线的方向向量与平面的法向量的确定→①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向→量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：a，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，设b
a＝0，
则求法向量的方程组为b＝0
2用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lαv⊥u④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1∥u23用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2v12＝0v②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2u12＝0u
4点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，
为平面α的法向量，则B到平→
AB面α的距离d＝

一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和r