11令xkk2kk12kk1111k123
即l
k1l
k2kk1将上述
个不等式依次相加得
l
1
11111223
2
1111
l
123
2
1
整理得1
注:本题是2010湖北高考理科第21题。近年,以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。
三放缩后迭乘
例.a11a
1(1)求a2a3(2)令b
124a
,求数列b
的通项公式(3)已知f
6a
13a
,求证:f1f2f3f
15114a1124a11451681611515a314a2124a214161623221
1
1(3)由(2)得a
342313231f
2
11
424241112111
1
11
2
11
14444441
11141
11
11
1444
114a
124a
N16
12
解:(1)a2
4
f青海民族大学毕业论文
14
f
11
14注:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多米诺骨牌效应。只是求
项和时用迭加,求
项乘时用迭乘。1
数列在不等式证明中的应用
例已知递增的等比数列a
前三项之积为512,且这三项分别减去1,3,9后成等差数列,求证:123
1a1a2a3a
分析:要想证明这个不等式,首先要求出左边的和式。根据题意,a
是等比数列,所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。
23解:由a1a3a2可得,a1a2a3a2512,所以a28再设等比数列a
的
公比为q则根据条件可得:
a1481,因此,18q9283,解得,q2或q(舍去)所以2q2q
a
2
1
令S
123
122334
①,则a1a2a3a
222211S123
②,2
2324252
2由①②得,1S1111
,即,2
2223242
12
2
111S
112131
1
22222221
2例设a
0,且a
a
a
1求证:对一切自然数
,都有a
1
22证明:因为a
a
a
1,所以a
1a
a
r