1
c1x12c2x22ckxk2a2

c1x1kc2x2kckxkkak
放缩法在数列不等式证明中的运用
一放缩后转化为等比数列
例b
满足：b11b
1b
2
2b
3（1）用数学归纳法证明：b
（2）T
11111，求证：T
23b13b23b33b

解：1当
1时，b11成立，假设当
k时，bkk，则当
k1时，
bk1bk2k1bk3k2k1k3k2k2k3k1
当
k1时，bk1k1，即当
N时，b
恒成立
2b
13b
b
2b
3又b
，b
132b
3
N迭乘得：b
32
1b132
1
11
1
Nb
32
111111134
1
122222222
T

2
f青海民族大学毕业论文
注：把握“b
3”这一特征对“b
1b
2
2b
3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的为什么？值得体味！
二、放缩后裂项迭加
例．数列a
，a
1
1求证：s2
22
1，其前
项和为s

11111解：s2
12342
12

令b

1，b
的前
项和为T
2
2
1
当
2时，b
s2
T

11112
2
24
1

111111111111212304344564
1


712104
2
注本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。b例已知函数fxaxca0的图象在1f1处的切线方程为yx1x（1）用a表示出bc（2）若fxl
x在1上恒成立，求a的取值范围
111
（3）证明：1l
123
2
1
解：（1）fxa
bx2b函数fxaxc（a0）的图像在（1，f1）处的切线方程为yx1x
yabcabx1
ab12bc1
即yabx2bcx1
即ba1c12a
3
f数列在不等式中的应用
1（3）由（2）知：当a时有fxl
xx12111令a有fxxl
xx122x11且当x1时xl
x2xk111k1k111有l
r