2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数fxA．0
54xx2x
2
在2上的最小值是B．1C．2
144xx
2
（C）D．3
12x2x2
12x2x
解当x2时，2x0，因此fx
2，当且仅当
12x2x
2x
时上式取等号．而此方程有解x12，因此fx在2
上的最小值为2．2．A24设A．12，Bxx2ax40，BA，若则实数a的取值范围为B．12C．03D．03（D）
解因x2ax40有两个实根
x1a24a
2
4
，x2
a2

4
a
2
，
4
故BA等价于x12且x24，即
a24a
2
2
且
a2

4
a
2
4
，
4
4
解之得0a3．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23
，乙在每局中获胜的概率为，
3
1
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为A
24181
（B）D
670243
B
26681
C
27481
解法一依题意知，的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
f22125339
．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
P259
，，
4520P49981
4216P6981
，
26681
故E2
59
4
2081
6
1681

．
解法二依题意知，的所有可能值为2，4，6令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表示乙在第k局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
P2PA1A2PA1A259
，
P4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
231132202333381
，
P6PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
2r