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立体几何基础题题库51100（有详细答案）（有详细答案）51已知空间四边形ABCD中，ABBCCDDADBACM、N分别为BC、AD的中点。求：AM与CN所成的角的余弦值；解析：解析：1连接DM过N作NN∥AM交DM于N，则∴CNN为AM与CN所成的角。∵N为AD的中点NN∥AM省∴NN
1AM且N为MD的中点。2
设正四面体的棱长为1，
则NC
1322
313且MNMD424
在RR△MNC中，CN2MN2CM2
31716416
∴cos∠CNE
CNNECE2CNNE
222

3237244162333244
又∵∠CNE∈0
π
2

∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为
23
注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB4，CD20，EF7，
AFBE1。求异面直线AB与CD所成的角。FDEC3BG1，连结EG、FGGD3
解析：解析：在BD上取一点G，使得
CEBAFGD
在ΔBCD中，
BEBG，故EGCD，并且ECGD
EGBE1，CDBC4
所以，EG5；类似地，可证FGAB，且
FGDF3，ABAD4
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故FG3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得cos∠FGE
D1A1
DOACB
C1B1
EG2GF2EF232527212EGGF2352
E
，故∠FGE120°。
另一方面，由前所得EGCD，FGAB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。53在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1c，ABa，ADb，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．连则解一：设则取解一连AC，AC∩BD0，O为AC中点，C1C的中点F，OF，OF∥AC1且OF所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB
1AC1，2
1a2b2，2
OF理得
12121bc，由余弦定a2b2c2，BE224
D1A1DOAO1C1B1FCGB
cos∠
1211ab2a2b2c2b2c244OB41222222ababc4a2b2a2b2a2b2c2
解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。解二
解r