的最小值即归结为求
3在
cos

3

2

上的最小值，易知
cos在
此区间上为减函数，而si

为增函数。故在


si
时，
13
取最小值
3
cos
∴
fxmi
2
34。3
说明：去根号采用三角换元。
32。3
例13．求函数fx
xx1x2x121
在1
上的最大值。
解：令x1ta
arcta
2，则2
ta
ta
1ta
1fx
ta
21

12
2ta
1ta
2
1ta
21ta
2
1si
2cos22
1si
44
∵4arcta
242且4arcta
232
∴1si
40
∴
1fxmax2
说明：此题同样式为去根号而换元，但在题目的处理中则显示了对三角知识的灵活运
用，不仅有万能公式，而且用到二倍角公式，三角函数有界性等知识，因此需仔细观察然后
用代换。
例14．设x0y0，求函数xy的最大值。xy
解：∵x2y2xy2
∴以xyxy为边可作成直角三角形，因此可设
xsi
ycos0
xy
xy
2
8
f……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
所以
xysi
cos
xy
2si
24
当时，等号成立，此时（即xy）有4
xyxymax2
说明：此题抓住题目结构的内在特点，构造直角三角形，设元代换。
通过上面的例题可以看出，三角换元法的使用是有一定范围的，它只适用于具有某些特点的式子，如前文所提及的式子时，可以考虑使用此法，但应用此法是否能够解决问题，还
必须进一步考虑能否引进三角函数，例如要设xsec时，x必须满足x1，否则就不
能引进。进行三角换元以后，如果能利用三角知识解决问题，此法可行，否则还得另觅新路。
参考资料：1．数学问题化归理论与方法喻平广西师范大学出版社1999。82．解题与证题指导中学数学教学文摘浙江人民出版社1982。5
3．“函数yaxbcxdac0值域又一求法”卢剑春
数学教学通讯2000。1
9
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