的最小值即归结为求
3在
cos
3
2
上的最小值,易知
cos在
此区间上为减函数,而si
为增函数。故在
si
时,
13
取最小值
3
cos
∴
fxmi
2
34。3
说明:去根号采用三角换元。
32。3
例13.求函数fx
xx1x2x121
在1
上的最大值。
解:令x1ta
arcta
2,则2
ta
ta
1ta
1fx
ta
21
12
2ta
1ta
2
1ta
21ta
2
1si
2cos22
1si
44
∵4arcta
242且4arcta
232
∴1si
40
∴
1fxmax2
说明:此题同样式为去根号而换元,但在题目的处理中则显示了对三角知识的灵活运
用,不仅有万能公式,而且用到二倍角公式,三角函数有界性等知识,因此需仔细观察然后
用代换。
例14.设x0y0,求函数xy的最大值。xy
解:∵x2y2xy2
∴以xyxy为边可作成直角三角形,因此可设
xsi
ycos0
xy
xy
2
8
f……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
所以
xysi
cos
xy
2si
24
当时,等号成立,此时(即xy)有4
xyxymax2
说明:此题抓住题目结构的内在特点,构造直角三角形,设元代换。
通过上面的例题可以看出,三角换元法的使用是有一定范围的,它只适用于具有某些特点的式子,如前文所提及的式子时,可以考虑使用此法,但应用此法是否能够解决问题,还
必须进一步考虑能否引进三角函数,例如要设xsec时,x必须满足x1,否则就不
能引进。进行三角换元以后,如果能利用三角知识解决问题,此法可行,否则还得另觅新路。
参考资料:1.数学问题化归理论与方法喻平广西师范大学出版社1999。82.解题与证题指导中学数学教学文摘浙江人民出版社1982。5
3.“函数yaxbcxdac0值域又一求法”卢剑春
数学教学通讯2000。1
9
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