……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
三角换元法
摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。
大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为
二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式ax2bxc总是可以
转化为k2t2、k2t或t2k2的形式，其中t为变量，k为非负常量。现对于此
类问题归纳如下：
1．形如yfxa2x2的形式，其中f是x和a2x2的代数函数。令
xasi
ta0t此时，xaa或令xacosta00t
2
2
同理xaa，
2．形如yfxx2a2的形式，其中f是x和a2x2的代数函数。令
xata
ta0t此时，x或令xacotta00t
2
2
x。
3．形如yfxx2a2的形式，其中f是x和x2a2的代数函数。令
xasecta00tt3此时，xaa或令xacsct
2
2
a0t00t其中xaa。
2
2
注：上面替换中应注意，t的范围应满足：
1°根式中变量的取值要求。
2°二次根式的化简唯一。
以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：
一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。
例1．解方程：xx35x2112
解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设xsect0t，则方程变为2
1
f……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
sectsect35ta
t12
变形整理得：1225si
22t576si
2t5760
∴
si
2t24或si
2t24
25
49
∵
0t
2
∴
02t
故si
2t24应舍去，由si
2tr