24得cos2t7
49
25
25
当cos2t7时，得cost4，∴x5
25
5
4
当cos2t7时，得cost3，∴x5
25
5
3
故原方程的根为x5或x5
4
3
说明：此题关键是去掉根式，易联想到sec21ta
2的形式，换元也就水到渠成了。
例2．
解方程组

x
2

y2

9
。
xy32
解：由题意知
x

0
y

0
则设
x

3si

其中

0
2

那么
y

3si

此时xy3si
3cos
32si
4
32
即
si
1
4
∴4
从而
x

3
22

y

322

所以方程组的解为

x

322

y

322
2
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说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。
例3．实数xy满足x1y1，且
logax2logay2logaax2logaay2当a1时，求logaxy的取值范围。
解：此题直接求解较难，若令ulogaxvlogay由x1y1可得u0v0，于是问题转化为：“已知u0v0，且u12v124求uv的取值范围”，再做
三角变换，令u12cosv12si
02，
则uv22cos2si

222si
4
由u0v0得cos1si
1
2
2
∴211
6
312
412
∴当si


4
1时，uvmax

22
2
当si


4


si
12
或
si

1112
时，u

vmi

1
3
∴
13uv222
故logaxy的取值范围是13222。
说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。
二、三角换元法在证明中的应用
例4．若abcRa2b2c2
3
N则a
b
c
。
证明：设asi
bcos0
c
c
2
∵0si
10cos1
∴si
si
2cos
cos2
∴a
b
c
si
c
cos
c
cos
si

3
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c
cos2si
2c

故
a
b
c

说明：题目综合难度较大，但通过换元后利用单调性巧证，题目的关键在于放缩之后利用
si
2r