函数的单调性
一、知识要点：1、函数单调性定义：对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1x2∈D
当x1x2时，都有fx1fx2，则称fx是区间D上的增函数，D叫fx单调递增区间
当xx时，都有fxfx，则称fx是区间D上的减函数，D叫fx单调递减区间
12
1
2
2、函数单调性的判断方法：（1）定义法。步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1x2
②作差fx－1
fx2或作商
ff
x2x1


f
x1


0，并变形，
③判定
fx1－
fx2
的符号，或比较
ff
x2x1

与
1
的大小，
④根据定义作出结论。
（2）图象法；借助图象直观判断。
（3）复合函数单调性判断方法：设yfuugxxabum

若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减。
3、常见结论
增函数fx增函数gx是增函数；减函数fx减函数gx是减函数；
增函数fx减函数gx是增函数；减函数fx增函数gx是减函数。
若fx为减函数，则fx为增函数；若fx0且为增函数，则函数1在其定义域内为减函数；
fx
二、基础练习：
1写出下列函数的单调区间
（1）ykxb
（2）yk，x
（3）yax2bxc
2．已知fxk23k4x2k1在R上是增函数则k的取值范围
3．函数fxx2m1x2在4上是减函数则求m的取值范围
4已知函数fxx22ax2x55上是单调函数a的取值范围是
5函数f（x）在上是减函数求f（a2－a＋1）与f（34）的大小关系三、例题精讲：
例1．（1）求函数yx22x3的单调区间。
1
f题型3：单调性的应用：例3已知函数f（x）＝axx＋＋21在区间（－2，∞）上单调递增，求a的取值范围。
变式：讨论函数fxxaa0的单调性；x
例4已知fxxx≠a
xa
（1）若a2试证fx在（∞2）内单调递增；（2）若a＞0且fx在（1∞）内单调递减，求a的取值范围
题型4：抽象函数的单调性及其应用：例5已知fx在定义域（0，∞）上为增函数，且满足fxyfxfyf31试解不等式fxfx8≤2
变式：已知yfx是定义在（2，2）上的增函数，若fm1＜f12m，则m的取值范围是例6已知函数yfx对任意xy∈R均有fxfyfxy且当x＞0时，fx＜0f12
3
1判断并证明fx在R上的单调性；（2）求fx在［3，3］上的最值
例7设f（x）定义在R上，对于任意a、b∈R，有f（ab）＝f（a）＋f（b）
求证：（1）f（1）＝0；（2）f（
1x
）＝－f（x）；
（3）若x∈（1，∞）时，f（x）＜0，则f（r