关于绝对值函数的问题解决
有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。
试题已知函数fxx21，gxax1（1）若关于x的方程fxgx只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式fxgx恒函数成立，求实数a的取值范围；（3）求函数hxfxgx在区间22上的最大值（直．接．写．出．结．果．，不．需．给．出．演．算．
步．骤．）解答
（1）方程fxgx，即x21ax1，变形得x1x1a0，显然，x1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程x1a，有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a0
（2）不等式fx≥gx对xR恒成立，即x21≥ax1（）对xR恒成立，①当x1时，（）显然成立，此时aR；
f②当
x

1
时，（）可变形为
a

x2x
11
，令

x

x2x
11

x1xx1x
11
因为当x1时，x2，当x1时，x2，
所以x2，故此时a≤2
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤2
x2axa1x≥1
（3）因为hxfxgxx21ax1x2axa11≤x1

x2axa1x1
①当a1即a2时，结合图形可知hx在21上递减，在12上递增，2
且h23a3h2a3，经比较，此时hx在22上的最大值为3a3
②当0≤a≤1即0≤a≤2时，结合图形可知hx在21，a1上递减，
2
2
在1a，12上递增，且h23a3h2a3，haa2a1，
2
24
经比较，知此时hx在22上的最大值为3a3
③当1≤a0即2≤a0时，结合图形可知hx在21，a1上递减，
2
2
在1a，12上递增，且h23a3h2a3，haa2a1，
2
24
经比较，知此时hx在22上的最大值为a3
④当3≤a1即3≤a2时，结合图形可知hx在2a，1a上递减，
22
2
2
f在a1，a2上递增，且h23a30h2a3≥0，
2
2
经比较，知此时hx在22上的最大值为a3
当a3即a3时，结合图形可知hx在21上递增，在12上递减，22
故此时hx在22上的最大值为h10
综上所述，
当a≥0时，hr