，y2线性无关。故原方程的通解为yc1y1c2y1■■e■dx。例4：已知y1emx是方程（x21）y″2xy′y（x2bxc）0的一个特解，求，b，c的值，再求所得方程的通解。解：将y1emx代入已知方程，得：（m2x22mxm2）emx
f（x2bxc）emx易知，m2，b2m，cm2。因此，原方程可改写为（x21）y″2xy′y（m2x22mxm2）0用常数变易法求方程的另一个特解，设另一特解为y2c（x）y1（x）c（x）emx，将其代入方程，化简得：（x21）c″（x）2（mx2xm）c′（x）0记c′（x）p，则：（x21）p′2（mx2xm）p0利用分离变量法求解，得其中的一个解：p（x21）e2mx，积分得c（x）■（x21）e2mxdx■（x2■■1）e2mx故y2（x）■（x2■■1）emx；因此，所求通解为yc1emxc2（x2■■1）emx。3用观察法求二阶线性齐次方程的解通常根据方程系数特点，用观察法求出二阶线性齐次方程的一个特解，再求与之线性无关的另一个特解，最后写出通解。还可用下述两条观察经验求之：（1）如果y″，y′，y的系数之和为零，则该方程有一特解为yex；（2）如果P（x）xq（x）0，则该方程有一特解为yx。例5：求（x1）y″xy′y0的通解。解：由观察知，y1x是方程的一个特解，然后利用刘维尔公式可找出与y1线性无关的另一特解y2，即：y2y1■■e■dxx■■e■dxx■■e■dxx（■■e■dx■■e■dx）而■■e■dx■e■d（■）e■■■■de■e■■■■e■dx
f则y2x■■e■dx（e■■■■e■dx）e■故原方程的通解为yc1xc2e■。例6：试求方程xy″（1x）y′y0的通解。解：由于y″，y′，y的系数之和为零，故该方程有一特解y1（x）ex。利用刘维尔公式，可得方程的另一个特解y2（x）ex■■dxex■e■xe■dxex■xexdxex（xexex）（x1）故所求通解为yc1exc2（x1）例7：设方程y″■y′q（x）y0有两个特解y1（x）与y2（x），且y1（x）y2（x）1，求此方程中的q（x），并求其通解。解：（1）若y1（x）cc为常数，由y1（x）y2（x）1知c≠0。代入方程，得cq（x）0，所以q（x）0，原方程化为y″■y′0。故可得原方程的通解为：yc1x2c2。（2）若y1（x）≠cc为常数，由y1（x）y2（x）1知y2（x）■≠c（c为常数）。所以，y1（x），y2（x）线性无关，根据刘维尔公式，得：y2（x）y1■■e■dxy1■■dx代入y2■，得■■■dx。两边对x求导，得：■■圯2y1′xy1，解得y1（x）c1e■，取c11则y1（x）e■，y2（x）e■；故原方程的通解为y（x）c1e■c2e■，，将y1（x）e■代入原方程，可求得q（x）■x2。参考文献：
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