二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
摘要：本文主要通过一些典型例题讲解了二阶线性微分方程解的结构以及在求齐次方程通解中的应用，包括：常数变易法、刘维尔公式法、观察法等。
关键词：解的结构齐次方程通解特解定义：二阶线性微分方程的一般形式为y″p（x）y′q（x）y
f（x），（1）其中f（x）称为自由项或非齐次项。当f（x）≠0时，方程（1）称为非齐次的，当f（x）≡0时，方程（1）成为y″p（x）y′
q（x）y0，（2）称为齐次的。p（x），q（x）为常数时，称为二阶常系数线性微分方程。下面笔者就对二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用作一探讨。
1二阶线性微分方程解的结构
定理（二阶齐次线性微分方程的通解结构）：如果y1（x），
y2（x）是方程（2）的两个线性无关的解，则Yc1y1c2y2c1，c2为任意常数也是方程的解。
例1验证y1c1cosxc2si
x（c1，c2为任意常数）是方程
y″y0的通解。
证：将y1cosx，y2si
x分别代入原方程，容易验证它们都是方程y″y0的解。因为■■ta
x不是常数，即y″y0的两个解。y1cosx，y2si
x是线性无关的。
因此，由定理知yc1cosxc2si
x是方程y″y0的通解。
例2验证y1x2，y2x2l
x都是线性齐次方程x2y″3xy′4y0的解，并写出该方程的通解。
解：因为y1′2x，y1″2，则x2y1″3xy1′4y12x26x24x20，
所以y1x2是方程的解。
又因为y2′2xl
xx，y2″2l
x3，则
x2y2″3xy2′4y2x2（2l
x3）3x（2xl
xx）4x2l
x0，
f所以y2x2l
x也是方程的解。由于■■≠常数，故y1，y2线性无关故原方程的通解为：yc1x2c2x2l
x。2已知二阶线性齐次方程的一个解，求其通解若已知二阶线性齐次方程（2）的一个解y1（x），便可利用常数变易法等各种不同的方法求出另一个与之线性无关的解y2或按刘维尔公式直接求出，即y2y1■■e■dx（见下面例3），然后由定理得到该二阶齐次方程的通解为Yc1y1c2y2。例3：已知二阶线性齐次微分方程y″p（x）y′q（x）y0的一个非零解y1，试求该方程的通解。
解：设与y1线性无关的该方程的另一特解为y2，则有y1″p（x）y1′q（x）y10，y2″p（x）y2′q（x）y20由上两式，可得：
y2（y1″p（x）y1′q（x）y1）y1（y2″p（x）y2′q（x）y2）0即（y1y2″y2y1″）p（x）（y1y2′y1′y2）0令uy1y2′y1′y2，则u′y1y2″y1″y2，于是，上式化为■p（x）u0解得uy1y2′y1′y2Ce■，取C1，则■■e■，即d（■）■e■dx两端积分，取积分常数为0，可得■■■e■dx，即y2y1■■e■dx。由于■不是常数，故y1r