fx＝xx－a2解1f′x＝x－3′ex＋x－3ex′＝x－2ex，令f′x＞0，解得x＞2，又x∈0，＋
∞，所以函数的单调增区间2，＋∞，函数的单调减区间02．2函数fx＝xx－a2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′x＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝a3，x2＝a
①当a0时，x1x2∴函数fx的单调递增区间为－∞，a3，a，＋∞，单调递减区间为a3，a
②当a0时，x1x2，
∴函数fx的单调递增区间为－∞，a，a3，＋∞，
单调递减区间为a，a3
③当a＝0时，f′x＝3x2≥0，∴函数fx的单调区间为－∞，＋∞，即fx在R上是递增
的．
f综上，a0时，函数fx的单调递增区间为－∞，a3，a，＋∞，单调递减区间为a3，a
a0时，函数fx的单调递增区间为－∞，a，a3，＋∞，单调递减区间为a，a3
a＝0时，函数fx的单调递增区间为－∞，＋∞．
题型三利用导数求函数的极值和最值
1．利用导数求函数极值的一般步骤
1确定函数fx的定义域；
2解方程f′x＝0的根；
3检验f′x＝0的根的两侧f′x的符号．
若左正右负，则fx在此根处取得极大值；
若左负右正，则fx在此根处取得极小值；
否则，此根不是fx的极值点．
2．求函数fx在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤
1求fx在a，b内的极值；
2将1求得的极值与fa、fb相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小
值．
特别地，①当fx在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当fx在a，b
内只有一个极值点时，若在这一点处fx有极大或极小值，则可以断定fx在该点处取得最
大最小值，这里a，b也可以是－∞，＋∞．
例3已知函数fx＝12x2－al
xa∈R
1若fx在x＝2时取得极值，求a的值；
2求fx的单调区间；
3求证：当x＞1时，12x2＋l
x＜23x3
1解f′x＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4此时f′x＝x－4x＝
x＋2xx－2，因为fx的定义域是0，＋∞，所以当x∈02时，f′x＜0；当x∈2，＋∞，
f′x＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝42解因为f′x＝x－ax＝x2－xa，所以当a≤0时，fx的单调递增区间为0，＋∞．
当a＞0时，f′x＝x－ax＝x2－xa＝x＋
ax－x
a，所以函数fx的单调递增区间
a，＋∞；
递减区间为0，a．
3证明
设
gx
＝
23
x3
－
12x2
－
l

x，则
g′x＝2x2
－
x
－
1x
，因为当
x＞1
时，g′x＝
fx－12xx2＋x＋1＞0，r