抽象函数问题的“原型”解法
抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如fxkxk0有那么ykx就叫做fx1x2kx1x2fx1fx2可抽象为fxyfxfy。抽象函数fx满足fxyfxfy的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。
【例2】已知函数fx满足fx1分析与略解：由fx1
1fx，若f02004，试求f2005。1fx
1fx1fx1ta
x想：ta
x41ta
x
原型：yta
x为周期函数且周期为4×猜测：fx为周期函数且周期为4×14
π。4
一、中学阶段常用抽象函数fx的“原型”（函数）1、fxyfxfyykxk为常数）x2、fxyfxfyya（a＞0且a≠1）3、fxyfxfyylogaxa＞0且a≠1
4、fxyfxfyyx
为常数）
1fx1fx1fx11∵fx2fx111fx1fx1fx11fx1fxfx4fx∴fx4fx22fx2∴fx是以4为周期的周期函数1
又∵f22004∴f2005f20041∴f2005
1f20041f01200420051f20041f0120042003
xyxyf或fxyfxy2fxfy5、fxfy2f22－－ycosr