111正弦定理
教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数教学过程：
一、复习引入：1在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？
2在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是abc，你能发现它们之间有什么关系吗？
结论★：
。
二、讲授新课：探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？
直角三角形中的正弦定理：si
Aasi
Bbsi
C1即cabc
c
c
si
Asi
Bsi
C
探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有
CDasi
Bbsi
A则ab同理，ac（思考如何作高？），从而
si
Asi
B
si
Asi
C
abcsi
Asi
Bsi
C探究三：你能用其他方法证明吗？
1．证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中
S△ABC1absi
C1acsi
B1bcsi
A
2
2
2
两边同除以1abc即得：abc
2
si
Asi
Bsi
C
C
a
bO
B
c
A
D
2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴aaCD2R，si
Asi
D
同理b2R，c＝2R
si
B
si
C
3．证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由ACCBAB边同乘以单位向量j
得…
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
理解定理1公式的变形：
absi
Asi
B
csi
C
2R
1a2Rsi
Ab2Rsi
Bc2Rsi
C2si
Aasi
Bbsi
Cc
2R
2R
2R
3abcsi
Asi
Bsi
C
4abaccbsi
Asi
Bsi
Asi
Csi
Csi
B
1
f2正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a

bsi
Asi
B
；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如si
A

ab
si
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形
3利用正弦定理解三角形使经常用到
①
A
BC

②si
A
B

si
CcosA
B

si
C③Sabc

1absi
C2
三、教学例题：
例1已知在ABC中，c10A450C300求ab和B
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边
解：c10A450C300
∴B1800AC1050
由ac得
csi
A10si
450
a

102
si
Asi
C
si
C
si
300
由bc得si
Bsi
C
b

csi
Bsi
C

10
si
1050si
300
20si
7505
65
2
评述r