2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1．0，求证：si
ta
．2
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为51．（25分）2
3．AB为y1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）
f4．向量OA与OB已知夹角，OA1，OB2，OP1tOA，OQtOB，0≤t≤1．PQ
在
t0
时取得最小值，问当
0

t0

15
时，夹角的取值范围．（25
分）
5．（仅理科做）存不存在0x，使得si
xcosxta
xcotx为等差数列．（25分）2
f答案解析
1不妨设fxxsi
x，则f00，且当0x时，fx1cosx0．于是fx在2
0x上单调增．∴fxf00．即有xsi
x．2
同理可证gxta
xx0．
g0

0，当
0

x

2
时，
gx

1cos2
x
1

0
．于是
gx
在
0

x

2
上单调增。
∴在0x上有gxg00。即ta
xx。2
2以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x轴，建立
如图所示的平面直角坐标系．
⑴当AB中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最大值
为
PR1
；当有一点位于O点时，
ABmax

OP

PR1
；
⑵当AB均不在y轴上时，知AB必在y轴的异侧方可能取到最大
PQ
R2O
R1
值（否则取A点关于y轴的对称点A，有ABAB）．
不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理
的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．
且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是ABAP或AQ；max
对于线段PQ上任意一点B，都有
BR2
≥
BA
．于是
ABmax

R2P

R2Q
PB
Q
R2AO
R1
由⑴，⑵知
ABmax

R2P
．不妨设为x．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做EFG的角平分线FH交EG于H．易知EFHHFGGFIIGFFGH．
5于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG1．
E
x1H
1F
1
x1
G
1I
由角平分线定理知EFx1EH．解得x15．
FG1x1HG
2
f3不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直线AC与直线BD相
交于点E．如图．设Bx1y1Ax2y2，
且有y21x22y11x12x10x2．
由于y2x，
y
于是AC的方程为2x2x2y2y；①
BD的方程为2x1x2y1y．②
联立
AC
BD
的方程，解得
Ey1y22x2x1

1
x1x2
．
对于①，令y0，得C2y20；2x2
E
A
B
C
Dr