2013年12月1161622024的初中数学组卷
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2013年12月1161622024的初中数学组卷
一．填空题（共3小题）1．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于_________．
2．如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若∠BAC80°，则∠ABC的大小为_________．
_________，∠AIB的大小为
3．O是△ABC的内切圆圆心，∠C90°，∠BOC105°，BC20cm，则AC长为
_________cm．
二．解答题（共27小题）4．从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比x：y：z，设x≥y≥z，求x：y：z（图）．
5．如图所示，已知Rt△ABC中，AH为斜边BC上的高，M为BC中点，O为△ABC外心，OB交AH于D．求证：AD2DH．
6．如图所示，在△ABC中，ABAC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心．
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7．如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求证：AH2OL．
8．如图所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O和⊙O1，求证：⊙O与⊙O1的半径相等．
9．△ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DEDBEC．10．已知外心G，内心I，且ABAC2BC，求证：GI⊥AI．11．在圆内接四边形ABCD中，顺次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的内心O1，O2，O3，O4．求证：四边形O1O2O3O4是一个矩形．12．AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB．13．已知△ABC中，∠A60°，H为垂心，O为外心，I是内心．求证：（1）AOAH；（2）B、O、I、H、C五点共圆．
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14．如图所示，已知△P1P2P3和其内任一点P，直线P1P、P2P和P3P分别与对边交于Q1，Q2，Q3．证明：在比值
中至少有一个不大于2．
15．三角形的内角平分线的交点称为三角形的内心，如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△DBE的内心，若∠BFE的度数为整数，则∠BEF至少是多少度？
16．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID．试证：IAIBICID是矩形．（第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题）17．如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4）为线段AB上一动点，，QOQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OPOQ的值是否变化？证明你的结论．
18．已知ABCD四点共圆，与DCr