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由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧
作者：邓军民（广州市育才中学数学科）
柯西不等式：设a1a2a
b1b2b
为两组实数，则
a1b1a2b2a
b
2a12a22a
2b12b22b
2
当且仅当b1a1

b2a2

b
a

约定ai
0，i1，2，，
时取等号。
柯西不等式证法一：构造二次函数（ai0i1，2，，
）
fxa12a22a
2x22a1b1a2b2a
b
xb12b22b
2
fxa1xb12a2xb22a
xb
20
4a1b1a2b2a
b
24a12a22a
2b12b22b
20a1b1a2b2a
b
2a12a22a
2b12b22b
2
当且仅当a1xb1
0，a2xb2
0，a
xb

0即b1a1

b2a2

b
a

时取等号。

这种证法则是利用了二次函数fxaixbi2的两个特点：i1
（1）、二次项系数大于0；
（2）、函数值fx0则可得出结论：0。
有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数

fxaixbi2，从而利用fx0恒成立，0来求解。i1
例1、
设xi
0i12
，求证：x12
x2
x22x3

x
2x1
x1x2x

证明：xi0i12
可构造函数
fx
x2

x3

x


x1x2
2x1

x2

x
x


x12x2

x22x3

x
2x1

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x2x
x1x2
2


fx0恒成立
x3x
2
x2x3




x1x
x

2
x1


4x1

x2

x
2
4x2

x3

x


x1

x12x2

x22x3

x
2x1


0
x2

x3

x


x1

x12x2

x22x3

x
2x1


x1

x2

x
2
x12x2

x22x3

x
2x1
x1x2
x3
x

例2、已知实数a、b、c、d满足abcd3a22b23c26d25试求a的
最大值和最小值。解：构造函数
fx2b23c26d2x22bcdx1
2b2x22bx13c2x22cx16d2x22dx1

2
3
6

2bx
12
2


3cx
13
2


6dx
16

2
fx0恒成立
4bcd242b23c26d20
2b23c26d2bcd2
又由已知可得：
2b23c26d25a2bcd3a
5a23a2
a23a201a2amax2ami
1例3、a、b、c是正实数，abc1，求证：
1
1
1
3
a3bcb3cac3ab2
证明：因为a、b、c是正实数，且abc21
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只需证bc2ac2ab23

abacbcabcabc2
构造函数
fx2abacbcx22bcacabxbc2ac2ab2
abacbcbacabc

ab


acx2

2bcx

bc2
ab

ac


ac


bcx2

2abx

ab2
ca

bc


ab


bcx2

2acx

ac2
bc

ba

2

bc
abacxabacacbcx
2
abacbc
abbcx
2
acabbc
fx0恒成立


4bc

ac

ab2

8ab

ac

bc


bc2
abac

ac2
bcba

ab2
ca

bc


0

2ab

ac

bc

bc2
abac

ac2
bcab

ab2
cabc


bc

ac

ab2
bc2ac2ab21bcacab33abbcca3
abr