空间向量与立体几何一、几何关系（平行、垂直）rrrrrrr1、向量共线定理：a，bb≠0，ab的充要条件是存在实数λ，使aλb．


2、向量共面定理：空间一点Ρ位于平面ΑΒC内的充要条件是存在有序实数对x，y，
uuuruuuruuuruuuuuuruuurruuur使ΑΡxΑΒyΑC；或对空间任一定点Ο，有ΟΡΟΑxΑΒyΑC；或若四点Ρ，uuuruuuruuuruuurΑ，Β，C共面，则ΟΡxΟΑyΟΒzΟCxyz1．
rrrrrrrrrrabrrrrrrrr3、ababcosab．a⊥bab0；cosabrr；ab≤ab．abrrrrrr4、1、若a、b为非零向量，则a⊥bab0x1x2y1y2z1z20．rrrrrr2、若b≠0，则abaλbx1λx2y1λy2z1λz2．
rrr3、aaax12y12z12．rrabx1x2y1y2z1z2rr4cosabrr．2222abx1y12z12x2y2z2
uuur2225、Αx1y1z1，Βx2y2z2，则dΑΒΑΒx2x1y2y1z2z1rr5、若直线a的方向向量为a，平面α的法向量为
，且aα：rrrrrrrrrr（1）aαaαa⊥
a
0，2）a⊥αa⊥αa
aλ
．、（、rr6、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a，b：
rrrrrrrr（1）αβabaλb，2）α⊥βa⊥bab0．、（
二、夹角
rr7、设异面直线a，b的夹角为θ，方向向量为a，b，其夹角为，则有：rrabcosθcosrr．ab
rrrr8、设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为
，l与α所成的角为θ，l与
的
frrl
夹角为，则有si
θcosrr．l

uruururuur9、设
1，
2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量
1，
2的夹角（或
其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角αlβ的平面角为θ，则uruur
1
2cosθuruu．r
1
2三、距离。
rrr（1）、两点间距离：aaax12y12z12
r（2）、点到直线距离：在直线l上找一点Ρ，过定点Α且垂直于直线l的向量为
，uuurrΡΑ
uuuruuurr则定点Α到直线l的距离为dΡΑcosΡΑ
r
r（3）Ρ到平面距离：点Ρ是平面α外一点，Α是平面α内的一定点，
为平面α、点uuurrΡΑ
uuuruuurr的一个法向量，则点Ρ到平面α的距离为dΡΑcosΡΑ
r．

r（4）、两异面直线距离：设直线l1l2是两条异面直线，
是l1l2公垂线AB的方向
向量r