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几何分布的期望与方差
康永清
高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中
只给出了结论：（1）E

1p
，（2）D

1pp2
，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。
（1）由Pkqk1p，知
Ep2pq3q2pkqk1p12q3q2kqk1p
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记
Sk12q3q2kqk1
qSkq2q2k1qk1kqk
两式相减，得
1qSk1qq2qk1kqk
Sk

1qk1q2
kqk1q
由0p1，知0q1，则limqk0，故k
1

2
p

3q2
kq
k1

lim
k
Sk

11q2

1p2
从而E1p
也可用无穷等比数列各项和公式Sa1q1（见教科书91页阅读材料），推导如下：1q
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记S12q3q2kqk1
qSq2q2k1qk1
相减，
1qS1qq2qk111q
则S
11q2

1p2
还可用导数公式x
x
1，推导如下：
12x3x2kxk1xx2x3xkxx2x3xk

x1
x
1xx1x2
11x2
上式中令xq，则得
12q3q2kqk1
11q2

1p2
（2）为简化运算，利用性质DE2E2来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求E2。
E2p22qp32q2pk2qk1p
p122q32q2k2qk1
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k2qk1kqk，并用倍差法求和，有
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122q32q2k2qk1
q2q23q3kqk
q
1q221qq
1q2
1q4
1q21q2p1q41q3p3
则E2

2ppp3

2pp2
，因此D

E2
E2

2pp2
12p

1pp2
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例1一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出
白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。
解：每次从袋内取出白球的概率p5，取出黑球的概率q2。的取值为1，2，3，……，
7
7
有无穷多个。我们用k表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此
Pkqk1p2k15k123。可见服从几何分布。所以77
E17p5
D

1pp2

157
52

1425
7
例2某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0p1）。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
若kk129，则表明他前k1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，
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