20192020学年高中数学选修21第二章《圆锥曲线与方程》
2．32双曲线的简单几何性质
学习目标1了解双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程3掌握标准方程中a，b，c，e间的关系4能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．
知识点一双曲线的范围、对称性思考观察下面的图形：1从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？2是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
答案1有限制，因为ax22≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a2关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．梳理1双曲线ax22－by22＝1a0，b0中要求x∈－∞，－a∪a，＋∞，y∈R双曲线ay22－bx22＝1a0，b0中要求x∈R，y∈－∞，－a∪a，＋∞．2双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点．知识点二双曲线的顶点思考1双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？
2双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案1不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．2是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．梳理双曲线ax22－by22＝1a0，b0的顶点坐标为－a0，a0；双曲线ay22－bx22＝1a0，b0的顶点坐标为0，－a，0，a．
f知识点三渐近线与离心率1渐近线：直线y＝±bax叫做双曲线ax22－by22＝1a0，b0的渐近线．2离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ac叫做双曲线的离心率，用e表示e1．3双曲线的几何性质见下表：
标准方程
ax22－by22＝1a0，b0
ay22－bx22＝1a0，b0
图形
范围
对称性
性
顶点
质
渐近线
离心率a，b，c间的关系
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标：A1－a0，A2a0y＝±bax
顶点坐标：A10，－a，A20，ay＝±abx
e＝ac，e∈1，＋∞，其中c＝a2＋b2
c2＝a2＋b2ca0，cb0
类型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解将4x2－y2＝4变形为x2－y42＝1，即1x22－2y22＝1∴a＝1，b＝2，c＝5因此顶点为A1－10，A210；焦点为F1－5，0，F25，0；
f半实轴长是a＝1，半虚轴长是b＝2；离心率er