第3讲二项式定理
【2013年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．
基础梳理1．二项式定理a＋b
＝C0a
＋C1a
－1b＋＋Cra
－rbr＋＋C
b
∈N这个公式所表示的定理叫二项式定

理，右边的多项式叫a＋b
的二项展开式．其中的系数Crr＝01，，
叫二项式系数．
式中的Cra
－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Cra
－rbr
2．二项展开式形式上的特点1项数为
＋12各项的次数都等于二项式的幂指数
，即a与b的指数的和为
3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由
逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到
014二项式的系数从C
，C
，一直到C
－1，C


3．二项式系数的性质
1对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Cr＝C
－r

2增减性与最大值：
＋1二项式系数Ck，当k＜2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小
的；
当
是偶数时，中间一项C2
取得最大值；
－1
＋1当
是奇数时，中间两项C2
，C2
取得最大值．
012
3各二项式系数和：C
＋C
＋C
＋＋Cr＋＋C
＝2
；

C0＋C2＋C4＋＝C1＋C3＋C5＋＝2
－1



f一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Cra
－rbr，注意a＋b
与b＋a
虽然相同，但具体到它
们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的字母系数是两个不同的概念，前者只指Cr，而后者是字母外的部分．前者只与
和r有
关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用1通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．2展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质1对称性；2增减性；3各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．2011福建1＋2x5的展开式中，x2的系数等于．A．80B．40C．20D．10
解析Tr＋1＝Cr2xr＝2rCrxr，55当r＝2时，T3＝40x2答案B2．若1＋25＝a＋b2ar