2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、设z是复数，az表示满足z1的最小正整数
，则对虚数单位i，ai（C）
A8

B6
C4
D2
【解析】aii1，则最小正整数
为4，选C2、函数fx的定义域为R，若fx1与fx1都是奇函数，则CAfx是偶函数Cfx3是奇函数Bfx是奇函数Dfx3是偶函数
fx1为奇函数fx1fx1ftf2tf2tft2fxfx4T4
fx1为奇函数fx1fx1ftft2
∴fx3为奇函数fx3fx1fx1fx3
3、在区间11上随机取一个数x，cosA
πx
2
的值介于0到
1之间的概率为A2

13
B
2
ππ
3
C
12
D
23
【解析】在区间11上随机取一个数x即x∈11时要使cos需使
πx
2
的值介于0到
π
2
≤
πx
2
≤
或
π
3
≤
πx
2
≤
π
2
1之间2
∴1≤x≤
222或≤x≤1，区间长度为，由几何333
211概型知cos的值介于0到之间的概率为3故选Awwwks5ucom2223
πx
4
、
设f
x为R
→R，且对任意实数有f
x
72
2
x2fB73
x
C
2
3x2144D146
9x215x，则f50的值为（）A
f分析：x2x50xx23x250x3
122012
201
x23x2542201
x2x542201120115×2
2
1201∴f502f54220192


12
3201f5422012f50922×21f50146


320115×2
2
5、
已知数列a
满足a10，a
1a
121a
12L则a2009A4036080B4036078C
wwwks5ucom

4036082D4036099
分析：两边加1得a
11a
11a
21a20094036080
6、
uuuruuurABuuuuuurrrACuuu已知非零向量AB与AC满足uuu＋uuuBC＝0且rrABACA三边均不相等的三角形，B　直角三角形，　C　等腰非等边三角形，　D　等边三角形。
uuuuuurrABAC1uuuuuu＝，则ABC为rrABAC2

uuuruuurABACr分析：uuu＋uuurABAC
uuuuuurruuurABAC1BC＝0ABC为等腰三角形，ruuu＝∠BAC＝π。uuur3ABAC2
二、选择题（本大题共8个小题，每小题7分，满分56分，请将正确的答案填在横线上。）7、
1594
对于
∈NC4
1C4
1C4
1C4
11_________24
1122
1


8、
uuuruuur在三角形ABC中，D是BC边的中点，若ADAC＝0，则ta
CcotA的最小值为＿＿。
f分析：以DCr